Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki MIM UW

Badania

Biomatematyka Teoria gier Hydrodynamika Analiza nieliniowa Metody numeryczne Statystyka

Kierunki badań prowadzonych w Instytucie dotyczą z jednej strony rozwoju współczesnych metod matematycznych służących do analizy złożonych modeli matematycznych, a z drugiej tworzenia nowych modeli głównie w fizyce, biologii i finansach. Rozwój modelowania matematycznego nie jest dziś możliwy bez rozwoju metod statystycznych i obliczeniowych. Te z kolei wiążą się z koniecznością analizy dużych danych oraz z pokonywaniem przeszkód związanych ze wzrostem złożoności obliczeniowej.

Utrzymujemy kontakty naukowe z czołowymi ośrodkami zagranicznymi, publikujemy w renomowanych czasopismach, realizujemy różne granty NCN oraz granty międzynarodowe.

Struktura badań:

Fizyka matematyczna

Biomatematyka i teoria gier

Metody numeryczne

Statystyka

W Instytucie działają cztery zakłady:

Poniżej przedstawiamy ich krótką charakterystykę.

Zakład Równań Fizyki Matematycznej

Spis pracowników ZRFiM

Rozwijamy współczesne metody analizy złożonych modeli matematycznych powstających w naukach przyrodniczych i społecznych. Główne kierunki badań dotyczą analizy skomplikowanych układów równań różniczkowych cząstkowych będących modelami w mechanice ośrodków ciągłych i biologii. Zakres prowadzonych badań obejmuje nastęujące zagadnienia:

Tematy, którymi obecnie się zajmujemy:

Metody fizyki matematycznej

Analiza nieliniowa i nieliniowe równania ewolucyjne

Metody matematyczne w biologii i medycynie

Analiza numeryczna zagadnień algebraicznych i różniczkowych, grafika komputerowa

Metody matematyczne w finansach, ekonomii, ubezpieczeniach i naukach społecznych

Asymptotyka rozwiązań nieskończenie-wymiarowych układów dynamicznych

Spektralne macierze Jacobiego

Zakład Biomatematyki i Teorii Gier

Spis pracowników ZBTG

Prowadzimy badania naukowe z pogranicza matematyki, biologii, medycyny, biofizyki i nauk społecznych. Współpracujemy aktywnie z naukowcami z wiodących ośrodków.

Wśród tematów, którymi się zajmujemy, można wyróżnić następujące kategorie:

Zastosowania matematyki w medycynie

Matematyczne modele kwazikryształów

Modele matematyczne w naukach społecznych

Teoria gier ewolucyjnych

Biologia systemów

Metody matematyczne w biologii

Zakład Analizy Numerycznej

Spis pracowników ZAN

Nasza grupa prowadzi badania w różnych obszarach analizy numerycznej. Dotyczą one zarówno teoretycznej analizy podstawowych problemów obliczeniowych jak i konstrukcji i implementacji efektywnych algorytmów. Przykłady takich problemów to aproksymacja i całkowanie funkcji, zadania algebry liniowej, równania różniczkowe cząstkowe i optymalizacja. Bierzemy również udział w projektach badawczych, gdzie metody numeryczne są niezbędnym narzędziem dla analizy czy predykcji zjawisk otaczającego świata.

Wielkie układy równań i równania różniczkowe

Numeryczna algebra liniowa jest często podstawą dla konstrukcji bardzo złożonych systemów obliczeniowych. Szczególną uwagę zwracamy na preconditioning, który jest kluczowym czynnikiem wpływającym na jakość i szybkość współczesnych obliczeń naukowych. Rozwój i analiza algorytmów równoległych dla równań różniczkowych cząstkowych, które prowadzą do wielkich układów równań algebraicznych, koncentruje się przede wszystkim na paradygmacie dekompozycji obszaru, tak jak np. w nieciągłej metodzie Galerkina. (Maksymilian Dryja, Piotr Kowalczyk, Piotr Krzyżanowski, Leszek Marcinkowski, Krzysztof Moszyński)

Grafika komputerowa i modelowanie matematyczne

Modelowanie geometryczne wspomagane komputerowo jest podstawą systemów CAD/CAM. Teoretyczne badania reprezentacji splajnowych krzywych i powierzchni są kluczowe dla doskonalenia istniejących efektywnych algorytmów i konstrukcji krzywych i powierzchni o pożądanych własnościach. Z pomocą przychodzi numeryczna optymalizacja ze względu na przyjęte miary gładkości. Inne prace dotyczą konstrukcji odpornych algorytmów rozwiązywania równań nieliniowych służących wizualizacji i wyznaczaniu przecięć. Konkretne implementacje są dostępne jako open source software. (Przemysław Kiciak)

Złożoność obliczeniowa zadań matematyki ciągłej

Ważną częścią naszej działalności są badania złożoności obliczeniowej zadań matematyki ciagłej (ang. information-based complexity, IBC), gdzie dostępna informacja o zadaniu jest częściowa, zaburzona i kosztowna. Takie zadania mogą być rozwiązane jedynie w przybliżeniu. Celem jest znalezienie minimalnych środków obliczeniowych pozwalających rozwiązać zadanie z zadanym marginesem błędu. Podatność zadań wielowymiarowych, takich jak numeryczne całkowanie funkcji bardzo wielu zmiennych, jest obecnie najszybciej rozwijającym się działem IBC. Zadaniom takim często towarzyszy klątwa wymiaru i wtedy główny wysiłek musi być skierowany na jej przezwyciężenie. (Leszek Plaskota, Paweł Siedlecki, Henryk Woźniakowski)

Teoria aproksymacji

Współczesna teoria aproksymacji jest ściśle związana z zastosowaniami w metodach numerycznych czy w przetwarzaniu obrazów. W tym kontekście, szczególne miejsce zajmuje aproksymacja nieliniowa i algorytmy zachłanne oraz wykorzystanie niestandardowych baz, takich jak np. falki. (Paweł Bechler)

Zakład Statystyki Matematycznej

Spis pracowników ZSM

Nasza grupa prowadzi badania w szerokim zakresie współczesnej statystyki matematycznej. Nasze badania obejmują:

Tematy, którymi obecnie się zajmujemy:

Oszczędne modelowanie i predykcja dla danych wysokiego wymiaru

Projekt skupia się na metodach statystycznych pozwalających na znalezienie rzadkiej reprezentacji danych wysokowymiarowych. Rozważane są przede wszystkim algorytmy oparte na minimalizowaniu penalizowanej straty. Nasze badania koncentrują się na teoretycznych własnościach nowoczesnych algorytmów służacych do wyboru modelu i predykcji.

Biostatystyka i statystyka medyczna

Projekt związany jest z analizą danych o dużych wolumenach i dużej złożoności. Dane pochodzące z technik Next Generation Sequencing dostarczają często terabajtów danych dla pojedynczego pacjenta. Przetwarzanie i analiza takich danych stawia nowe interesujące wyzwania przed statystykami, w tym wyzwania dotyczące analizy danych dla których p >> n. Przykładem takich projektów jest tworzenie sygnatur genetycznych lub tworzenie profili behawioralnych pacjentów. Prowadzone w naszym zespole badania są ściśle interdyscyplinarne i związane są ze współpracą z biologami molekularnymi lub lekarzami. Główne wyniki dotyczą tworzenia sygnatur i identyfikacji istotnych biomarkerów w analizie danych onkologicznych.

Ukryte modele Markowa

Skokowe procesy Markowa mają szerokie zastosowania wmodleowaniu zjawisk chemicznych, biologicznych, ekonomicznych i wielu innych dziedzinach nauki. W typowych sytuacjach konieczne jest rozważanie sytuacje gdy obserwacje trajektorii procesu są niepełne oraz zaszumione. Projekt skupia się na wnioskowaniu statystycznym w takiej sytuacji, ze szczególnym uwzględnieniem metod Monte Carlo pozwalających na efektywne przeprowadzanie obliczeń.

Nieparametryczna statystyka bayesowska

W tym projekcie konstruujemy i badamy algorytmu Monte Carlo służace do próbkowania z rozkładu a’posteriori w nieprametrycznych procesach bayesowskich. Wśród rozważanych modeli znajdują się: proces chińskiej restuaracji, proces hinduksiego bufetu oraz inne modele związane z procesem Dirichleta lub procesem Beta.