W wykładzie chcę opowiedzieć jak zmiany w środowisku matematycznym oraz w jego otoczeniu w ostatnim ćwierćwieczu XX wieku wpłynęły na uprawianie matematyki zarówno tej zwanej pure jak tej zwanej applied. Będę starał się także powiedzieć jakie, moim zdaniem, wyzwania stają przed matematykami, w tym szczególnie matematykami, którzy uprawiają matematykę applied w obliczu zmian, które nastąpiły. Mój wykład będzie poświęcony nierozwiązanym problemom, które już znamy, a nie antycypowaniu przyszłych zdarzeń.

Wiele zadań wielowymiarowych cierpi na klątwę wymiaru. Oznacza to, że złożoność obliczeniowa takich zadań jest funkcją wykładniczą liczby zmiennych zadania. Na ogół zachodzi to w przypadku najgorszym gdy błąd algorytmu jest zdefiniowany poprzez najgorsze zachowanie się algorytmu na danej klasie zadań. Co mamy robić z takim zadaniami? Nie możemy wymyślić lepszego algorytmu, bo wszystkie algorytmy rozwiązują zadania z wykładniczym kosztem. Jedynie co możemy zrobić to osłabić założenia przy których występuje klątwa wymiaru. Omówimy pokrótce trzy sposoby, które mogą przezwyciężyć klątwę wymiaru:

1. Zmniejszenie klasy zadań poprzez wykorzystanie dodatkowych własności takich jak malejąca ważność kolejnych zmiennych, co prowadzi do przestrzeni wagowych.
2. Zmniejszenie klasy zadań poprzez wykorzystanie dodatkowych własności takich jak rosnąca regularność ze względu na kolejne zmienne.
3. Zastąpienie przypadku najgorszego poprzez przypadek zrandomizowany czy też średni.

W referacie wyjaśnimy co to jest model struktury fenotypowej populacji. Przedstawimy dwa typy modeli. Jeden z losowym kojarzenie osobników w pary, a drugie z kojarzeniem selektywnym (asortatywnym) tj. takim, w którym osobniki zbliżone fenotypowo częściej łączą się w pary. W przypadku, gdy mamy losowy dobór partnera, rozkłady fenotypu stabilizują się, a rozkład zależny wyłącznie od średniego fenotypu wyjściowej populacji. W przypadku, gdy wybór partnera jest selektywny, to dla populacji o dużej rozpiętości fenotypowej, rozkład populacji zmierza do rozkładu multimodalnego, co w konsekwencji może prowadzić do powstawania nowych gatunków. Biolodzy ewolucyjni wskazywali, że kojarzenie selektywne może być jednym z motorów ewolucji, ale głównym argumentem z tym związanym była konkurencja wewnątrzgatunkowa - ewolucja lubi skrajności. Okazuje, że czyste kojarzenie selektywne może również prowadzić do podziału wewnątrz gatunku, co jest dość zaskakującym rezultatem. Oba modele prowadzą do równań ewolucyjnych z dość skomplikowanym nieliniowych operatorem kojarzenia w pary lub do nieliniowych operatorów gdy rozpatrujemy modele generacyjne.

Na wykładzie opowiem jak próby zrozumienia pewnych zjawisk biologicznych doprowadziły do sformułowania i udowodnienia twierdzeń matematycznych. Są to badania prowadzone wspólnie z Anną Marciniak-Czochrą i Kanako Suzuki.

Jednym z podstawowych narzędzi modelowania matematycznego a później wpływania na ten model poprzez sterowanie jest założenie, że proces stanu jest w pełni charakteryzowany przez swój aktualny stan, to znaczy jego przyszłe zachowanie zależy od chwili obecnej a nie od przeszłości. To założenie umożliwia wprowadzenie bogatego aparatu matematycznego, jakim są równania różniczkowe (które mają jednoznaczne rozwiązanie) deterministyczne czy też stochastyczne. Założenie to wprowadził wybitny rosyjski matematyk Andrey (Andrei) Andreyevich Markov (1856–1922) i od jego nazwiska takie procesy nazwano procesami Markowa. Łatwo jednak zauważyć, że otaczający nas świat nie daje się opisywać dobrze procesami Markowa. Na przykład trudno oczekiwać by ceny akcji nie zależały od przeszłości, procesy biologiczne nie miały pamięci itd. W przypadku sterowania dla naszego markowskiego modelu wyznaczamy funkcje sterującą zależną od aktualnego procesu stanu tkz. „feedback control”. Wtedy sterowany proces też jest procesem Markowa. Naturalne pytanie jest, czy daleko się mylimy stosując „feedback control” to jest funkcję od aktualnego stanu procesu w przypadku gdy proces stanu nie jest procesem Markowa. Prezentujący będzie starał się pokazać parę pokrzepiających przykładów z matematyki finansowej pokazujących, że takie postępowanie nie jest beznadziejne i w szczególnych przypadkach ma rację bytu.

Przedyskutujemy krótko potencjalne przewagi informacji adaptacyjnej i siatek adaptacyjnych przy numerycznym rozwiązywaniu problemów obliczeniowych. Skupimy się głównie na własnościach siatek adaptacyjnych dla problemów początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych regularnych i z osobliwościami.

Celem referatu jest przedstawienie kilku bardziej lub mniej poważnych problemów ‘z życia wziętych’, których modele matematyczne były rozważane przez autora. Wszystkie przedstawione zagadnienia biorą swoje początki w Polsce. W trakcie studiów nad tymi problemami i później powstawały zaskakujące sytuacje stanowiące rodzaj swoistych przygód dla autora. Zostanie także uwidocznione jak modelowanie matematyczne może zainicjować nowe badania teoretyczne.

Niech $\{X_j\}$ będzie szeregiem czasowym (procesem stochastycznym) o częściowych maksimach \[ M_n = \max_{1 \leq j \leq n} X_j.\] W wielu zagadnieniach praktycznych istotną rolę odgrywa znajomość ciągu $\{v_n\}$ asymptotycznie realizującego $q$-ty kwantyl, tzn. takiego, że ma miejsce zbieżność \[ P(M_n \leq v_n) \to q, \ \text{ gdy $n\to \infty$},\] gdzie $q$ jest bliskie 1. Jeśli zmienne losowe $\{X_j\}$ są niezależne i mają jednakowe rozkłady o dystrybuancie $F(x) = P( X_1 \leq x)$, ciąg $\{v_n\}$ musi spełniać związek \[ P(M_n \leq v_n) = \big(F(v_n)\big)^n = \exp\big( - n(1 - F(v_n)\big) + o(1) \to q.\] Jednak na ogół rzeczywiste dane nie są nawet w przybliżeniu realizacjami ciągu niezależnych zmiennych losowych. Pomimo tego w szerokiej klasie szeregów czasowych (stacjonarne i słabo zależne) można znaleźć ciągłą dystrybuantę $G$ o własności \[ \sup_{u\in R} \big| P( M_n \leq u) - \big(G(u)\big)^n \big|\to 0, \text{ gdy $n\to\infty$}. \] Śladem O'Briena (1987) taką dystrybuantę nazywamy dystrybuantą pozorną, bowiem może ona nie mieć nic wspólnego z $F$. W trakcie wykładu przedstawimy:

1. interpretację dystrybuanty pozornej w klasie łańcuchów Markowa,
2. potencjał numeryczny metod opartych na pojęciu dystrybuanty pozornej,
3. pojęcie dystrybuanty pozornej dla wektorów losowych.

Wykład oparty jest na wynikach własnych oraz pracach współautorskich z P. Doukhanem, G. Langiem, N. Soja-Kukiełą i P. Truszczyńskim

Wykład będzie wyrazem mojego coraz bardziej pogłębiającego się przekonania, że biologia zastępuje fizykę w roli stymulatora badań matematycznych. Będzie też o prorokach tej drogi i tych, którzy się na nią nawrócili. A oprócz proroków wielkich wystąpią prorocy mali.

Opowiem, jak próby modelowania zjawisk społecznych prowadzą do ciekawych zagadnień matematycznych.

W grze dynamicznej mamy do czynienia z wielokrotnym podejmowaniem decyzji w czasie, przy wzięciu pod uwagę nie tylko obecnych, ale i przyszłych wypłat, w środowisku zmieniającym się w odpowiedzi na wybory graczy. Opowiem o dwóch sposobach modelowania takich gier z wieloma uczestnikami, które odzwierciedlają rzeczywiste zachowania ludzi.

Dylemat społeczny to strategiczna sytuacja, w której decyzje racjonalne indywidualnie prowadzą do rezultatów nieoptymalnych grupowo. Matematyczny opis takich sytuacji daje teoria gier. Przedstawimy wybrane klasy dylematów społecznych, ich aksjomatykę i metody rozwiązywania.

I. Czy istnieje nieokresowa miara Gibbsa - stan równowagowy kwazikryształu? II. Jaka jest natura przejścia fazowego w grze Dylemat Więźnia na losowym grafie Barabasi-Alberty z kosztami krawędzi? III. Jak domykać nieskończone łańcuchy równań w stochastycznych modelach ekspresji i regulacji genów?

Opowiem o podstawowych składnikach mózgu oraz o tym w jaki sposób matematyka może byc pomocna w zrozumieniu procesów neurofizjologicznych.

Jednym ze sposobów na uwzględnienie w modelu czasu trwania zjawiska naturalnego jest użycie równań z opóźnieniem. Na przykładach opowiem o wpływie opóźnienia na dynamikę rozwiązań równań/układów równań różniczkowych.

Opowiem o różnych problemach, które pojawiły się w moich badaniach wiele lat temu i teraz wracają. Przedstawię pokrótce problemy rozważane we współpracy z zespołem prof. Zvii Agur z Institute for Medical Biomathematics. Powiem też o współpracy wewnątrz ZBiTG – głównie z Markiem Bodnarem i Moniką Piotrowską.

Jednym z popularniejszych w ostatnich latach metod stosowanych w statystyce są metody oparte na penalizowanej log- wiarygodności. Typowa kara jest funkcją niegładką co prowadzi do problemów obliczeniowych związanych z wyznaczeniem estymatorów. W tej sytuacji powszechnie się stosuje algorytm proximal gradient. W referacie opowiem o wynikach dotyczących zbieżności stochastycznej wersji tego algorytmu, gdzie gradient zastąpiony jest jego losowym przybliżeniem.

Od ponad 20tu lat cytowalność publikacji naukowych wpływa na karierę ich autorów w wielu krajach rozwiniętych. Najbardziej cytowane są (pod)procedury wykonawcze dla powtarzalnych masowo eksperymentów lub obliczeń. W ten sposób oprogramowanie dla naukowców zyskuje na znaczeniu i znajduje to wyraz w postępowaniach awansowych, co wydaje się zrozumiałe tym bardziej, że taki software wymaga coraz więcej pracy, a udostępniany jest za darmo. W Polsce, wg. rozporządzenia MNiSW z dnia 1/09/2011, software nie jest osiągnięciem w naukach ścisłych, ale w chemii i fizyce ograniczenie to nie jest praktycznie przestrzegane - autorstwo programu komputerowego bywa osiągnięciem decydującym o awansie pracownika nauki. Tymczasem w naukach matematycznych światowy trend jest hamowany, bo środowisko nie ma wyrobionego postępowania w tej sprawie (ograniczenia prawne nie wydają się decydujące). W referacie omawiam, na przykładach, popularne programy komputerowe i kariery ich autorów w statystyce lub bioinformatyce oraz namawiam do uznania, że software może być osiągnięciem wpływającym na awans w naukach matematycznych.

Statistical models can be simplified considerably by incorporating the independence structure between the variables. A graphical model represents the random variables as nodes on a graph, where a graphical separation statement implies the corresponding independence statement. A Bayesian Network is a factorisation of a probability distribution along a directed acyclic graph, where the parent sets of each variable represent the sets on which the variable is conditioned in the factorisation. The aim is, given data, to find a factorisation of the underlying probability distribution over as sparse a DAG as possible. I describe a new probability distribution over directed acyclic graphs (DAGs) and a straightforward scheme for generating DAGs from this distribution. The distribution has various parameters which may be used to control the sparsity of the graph. Due to its product form, the distribution provides a convenient prior distribution over graph structures, which may be used for posterior sampling using algorithms of Metropolis-Hastings type, when (for example) the aim is to learn the DAG of a Bayesian Network.

Skokowe procesy Markowa (procesy z czasem ciągłym i dyskretną przestrzenią stanów) pojawiają się w takich zastosowaniach jak modelowanie reakcji chemicznych, sztuczna inteligencja (sieci bayesowskie z czasem ciągłym) i wiele innych. Bardzo często te procesy są obserwowane tylko pośrednio i z losowymi błędami. Z punktu widzenia bayesowskiego, prowadzi to do zadania estymacji rozkładu a posteriori na przestrzeni parametrów lub/i na przestrzeni trajektorii procesu. Wykorzystuje się metody Monte Carlo (markowowskie lub/i sekwencyjne Monte Carlo) do próbkowania z rozkładu a posteriori. Omówię kilka algorytmów tego typu, ze szczególnym uwzględnieniem wyników zawartych w pracach Błażeja Miasojedowa, Johna Noble, Krzysztofa Opalskiego i moich.

W referacie na początku omówimy podstawowe problemy związane z komputerowym rozwiązywaniem równań różniczkowych cząstkowych. W drugiej części referatu omówimy idee metod Schwarza podstawowych metod dekompozycji obszaru oraz ostatnie wyniki uzyskane przez autora referatu w tej dziedzinie.

Referat omawia pojęcie ciągłości geometrycznej powierzchni i jego zastosowanie w konstrukcji powierzchni gładkiej z optymalizacją kształtu. Kryterium optymalizacji jest pewien funkcjonał, rosnący ze wzrostem zafalowań powierzchni. Istotnym elementem konstrukcji jest skonstruowanie przestrzeni elementu skończonego nad rozmaitością dwuwymiarową o arbitralnie określonej topologii.

Referat będzie poświęcony zagadnieniu istnienia elementów najlepszej aproksymacji dla nieliniowej aproksymacji n-członowej w przestrzeni Hilberta. Przedstawiona zostanie klasa słowników, dla których takie elementy istnieją, oraz konstrukcja słowników nie mających tej własności.

IBC to skrót angielskiej nazwy information-based complexity.Jest to dziedzina wiedzy zajmująca się złożonością zadań obliczeniowych matematyki ciągłej, gdzie dostępna informacja o zadaniu jest niepełna,zaburzona i kosztowna. W referacie przedstawimy podstawowe założenia teoretyczne oraz przykład analizy złożoności dla zadania aproksymacji funkcji kawałkami gładkich.

Chciałbym opowiedzieć słów parę o swojej pracy z Maltem Braackiem z Kilonii: Directional Do-Nothing condition for the Navier-Stokes equations, Journal of Computational Mathematics Vol.32, No.5, 2014, 507–521. Myślą przewodnią mojego wykładu będzie pokazanie potrzeby analizy matematycznej w poprawianiu schematów numerycznych. Oczywiście aparat matematycznych użyty w tym  celu wydaje się, a raczej jest dość ubogi, choć z pewnej odległości, na  odpowiednim poziomie abstrakcji, różni się od najbardziej subtelnych rozważań jedynie językowo. Tematem wykładu będzie dobór odpowiedniego sztucznego warunku brzegowego dla problemu przepływu w reżimie równań Naviera-Stokesa, jaki kładzie się na części wypływu cieczy by otrzymać najbardziej naturalne zachowanie w otoczeniu tej części brzegu obszaru. Jest to modyfikacja klasycznego warunku Do-Nothing.

W odpowiedzi na tytułowe pytanie przedstawimy kilka zagadnień minimalizacyjnych i potoków gradientowych, w których występują funkcjonały wariacyjne o liniowym wzroście. Wśród przykładów są: algorytm ROF, zagadnienie najmniejszego gradientu i potok wahania całkowitego funkcji. Opowiemy o istnieniu rozwiązań i ich właściwościach.

Równanie Fujity należy do najprostszych półliniowych równań parabolicznych. Dzięki potęgowej nieliniowości łatwo sprawić, aby gładkie rozwiązanie wybuchło w skończonym czasie. Prostota struktury równania daje zaś nadzieję, że będziemy w stanie dokładnie opisać proces tworzenia się osobliwości. Między innymi z tego względu model ten od ponad pół wieku jest używany jako laboratorium, w którym rozwijane i testowane są techniki analizy półliniowych równań parabolicznych. Pomimo dziecięcioleci pracy wielu badaczy wciąz nie znamy odpowiedzi na kluczowe pytania. Można śmiało powiedzieć, że najciekawsze i prawdopodobnie najtrudniejsze etapy poznawania tego równania są wciąż przed nami. W swoim wystąpieniu przybliżę co wiemy, co podejrzewamy i co chcielibyśmy wiedzieć o wybuchach w równaniu Fujity.

W swoim wystąpieniu opowiem o pewnych ciekawych zagadnieniach eliptycznych biorących swe źródło w teorii sprężystości oraz w mechanice kwantowej. Matematyczne modele odkształceń sprężystych prowadzą do układów eliptycznych z "krytycznym wzrostem", tzn. takich, w których człon niższego rzędu (zależny od rozwiązania) jest a priori jedynie całkowalny. Analiza takich układów wymaga stosowania niestandardowych narzędzi - inspiracje przychodzą z innych działów matematyki: geometrii różniczkowej, teorii pola, analizy harmonicznej.Mechanika kwantowa dostarcza natomiast przykładu przestrzeni subriemannowskiej z ciekawą strukturą różniczkową (tzw. grupa Heisenberga), w której znane i "oswojone"  równania eliptyczne (równanie p-harmoniczne) stają się "dzikie". Sposobów na radzenie sobie z nimi szuka się patrząc np. na standardowe zagadnienia paraboliczne w zwykłej przestrzeni euklidesowej.

Opowiem o badaniu asymptotyki czasowej, atraktorach i związkach z opisem turbulencji w płynach lepkich i niesciśliwych.

W referacie podamy kilka charakteryzacji liniowych układów, które można przeprowadzać z dowolnych stanów do stanu równowagi z dowolnie małą energia. Ogólne wyniki zilustrujemy zagadnieniem zmiany orbity satelity pojazdu kosmicznego. Literatura:

1. L. Pandolfi, E. Priola, J. Zabczyk, Linear Operator Inequality and Controllability with Vanishing Energy for Unbounded Control Systems, SIAM J. Control, Optim. (2013), vol. 51, No. 1, pp. 629-659.
2. E. Priola, J. Zabczyk, Null Controllability with Vanishing Energy, SIAM J. Control, Optim. (2003), vol. 42, no. 3, pp. 1013-1032.
3. M. Shibata and A. Ichikawa, Orbital Rendezvous and Flyaround Based on Null Controllability with Vanishing Energy, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, (2007) vol. 30, No. 4 July- August, pp. 934-945.

Przedmiotem wykładu są własności asymptotyczne kilku modeli (własnych i cudzych) kinetyki skracania się telomerów, który to proces, u organizmów eukariotycznych determinuje zjawisko senescencji komórkowej ściśle związanej ze starzeniem się tych organizmów. Mimo znacznych różnic w charakterze tych modeli (dyskretne, ciągłe; deterministyczne, stochastyczne) analiza wskazuje, iż ich wspólną cechą jest struktura w postaci kaskady kompartmentów z dodatnim sprzężeniem zwrotnym. To sprzężenie odpowiada za niestandardowe zachowanie asymptotyczne, które demonstrujemy wykorzystując podstawowe prawa rachunku operatorowego i funkcji tworzących prawdopodobieństwa. Przedstawiona analiza asymptotyczna stanowi także zaproszenie do głębszych rozważań nad procesem starzenia się.

Zdefiniujemy słabe rozwiązania, podamy pewne kryteria ich regularności, pokażemy istnienie regularnych globalnych rozwiązań posiadających pewne szczególne dane początkowe oraz siły zewnętrzne.

O bifurkacjach dynamicznych układu równań mówimy, gdy parametr bifurkacji sam jest rozwiązaniem tego układu. W zastosowaniach ważne są wolno zmieniające się parametry bifurkacji. Wówczas dany układ staje się układem osobliwie zaburzonym z nieizolowanymi rozmaitościami kwazistacjonarnymi. Celem wykładu jest przedstawienie dynamiki w pobliżu punktów przecięcia się tych rozmaitości.

W  niedawno przeprowadzonych  eksperymentach z ciekłymi  kryształami przy użyciu  tak zwanych zaworów optycznych  udało się otrzymać programowalne sieci  wirów optycznych. Wiry te to szczególny przypadek defektów optycznych. W niniejszym wykładzie opiszę drogę prowadzącą od eksperymentu poprzez modelowanie matematyczne i symulacje numeryczne aż do wyników teoretycznych z analizy matematycznej, która pozwoliła zrozumieć ich naturę oraz  opisać je jakościowo i ilościowo.  W szczególności przedstawię nowy typ wiru optycznego nazwanego ciemnym wirem.

Na przykładach zagadnienia Cauchy'ego dla nieliniowego równania ciepła i paraboliczno—eliptycznego układu Keller-Segela równań chemotaksji pokazane zostaną nowe i stare (wraz z nowymi wnioskami) metody dowodu wybuchu rozwiązań w skończonym czasie.